Главная | Problem Solving Question | Data Sufficiency Question | Integrated Reasoning Section | Вопрос-Ответ | ЕГЭ |
Сайт в процессе создания. Извините, еще не все ссылки работают.
Вы находитесь на странице "Задачи на прогрессии."
Планируются также:
Задачи на движение.
Задачи на проценты.
Задачи на составление уравнений.
В этом разделе Вы найдете немного теории и примеры задач на достаточность данных по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии". Не спешите переходить на страницы с ответами и решениями (3,5,6) до тех пор, пока не сделаете свою попытку. Помните - на своих ошибках учатся лучше, чем на чужих достижениях.
Англоязычные примеры я брала преимущественно из сети. Подробное русскоязычное объяснение Вы найдете на моей странице (5). Рекомендую также смотреть решения на сайте-первоисточнике, чтобы совершенствовать знание терминологии.
В математике существует понятие числовой последовательности (или просто последовательности - sequence). В общем случае, это бесконечный набор чисел, каждое из которых однозначно характеризуется своим номером "в очереди":
a1, a2, a3, ... , an-1, an, an+1, ...
Говоря математическим языком, последовательность задана, если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число an. Последовательность коротко обозначают {an}, n Є N. Её члены могут быть заданы формулой an = f (n), каким-либо правилом или рекуррентным соотношением. Подробное изучение свойств последовательностей, как правило, включают в курсы высшей математики (математического анализа). К классической алгебре относят само понятие "последовательность" и наиболее простые из них – прогрессии (progression). Они характеризуются тем, что каждый следующий член такой последовательности может быть найден по значению предыдущего.
Обратите внимание, в общем случае, последовательность - это бесконечное счетное множество. Но в задачах часто рассматривают упорядоченные конечные участки таких множеств, называя их конечными последовательностями.
Progression – A sequence a1, a2, a3, ... , an-1, an, an+1, ... in which each term is obtained from the previous one by some rule. It may be finite or infinite.
Arithmetic sequence – the terms have a common difference d, with an − an-1 = d for all n > 1.
Geometric sequence – the terms have a common ratio r, with an / an-1 = r for all n > 1.
Арифметической прогрессией называется последовательность {an}, у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом d. Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Для арифметической прогрессии при любом n > 1 верны следующие соотношения:
an+1 − an = d; an − an-1 = d; an = ak + d(n − k).
Соответственно, общий член арифметической прогрессии an по её первому члену находится по формуле
an = a1 + d(n − 1),
и каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего:
an = (an-1 + an+1)/2.
Сумма Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых.
Sn = a1 + an2 ——— ·n
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел {bn}, у которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этой последовательности число q ≠ 0. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.
Для геометрической прогрессии со знаменателем q при n > 1 имеем:
bn+1 / bn = q; bn / bn-1 = q; b2n = bn-1·bn+1.
Общий член геометрической прогрессии bn может быть выражен через первый её член и знаменатель по формуле
bn = b1·qn−1,
Сумма Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn-1 + bn первых n членов геометрической прогрессии {bn} со знаменателем q ≠ 1 вычисляется по формуле
Sn = b1·(1 − qn) / (1 − q).
Свойства монотонности прогрессий, т.е. убывания или возрастания их членов по величине по мере продвижения от меньших номеров к большим, сейчас подробно перечислять не стану (monotonic sequence: increasing or decreasing). Они следуют непосредственно из определений. Но отмечу, что для бесконечно убывающей геометрической прогрессии существует сумма всех её членов
S = b1 / (1 − q) при |q| < 1,
где S – сумма bn при n, изменяющимся от единицы до бесконечности.
Все приведенные выше формулы Вам необходимы для лучшего понимания темы и решения задач в разделе Problem Solving Question. Здесь, где мы обсуждаем вопросы о достаточности данных, главный вывод состоит в том, что
Причем, зависимости для других членов прогрессии, для её суммы (или суммы конечного участка) таковы, что вместо первого члена можно взять любой другой или некоторую сумму, при условии, что известны номера входящих в неё членов.
Разумеется, не следует зацикливаться на обозначениях. В российских школьных учебниках арифметическую и геометрическую прогрессию часто обозначают разными символами {an} и {bn}. Это облегчает восприятие понятий на первом этапе, но не более того. Для последовательностей вообще и прогрессий в частности часто используют {ak}, {un}, {xm}, {βi} и другие символы латинского и греческого алфавита. При этом нижний индекс – натуральное число, изменяющееся от 1 до ∞. Однако и это не обязательно. Бывают случаи, когда члены последовательности начинают нумеровать с нуля.
Обратите внимание также на то, что русскоязычное название параметра геометрической прогрессии "знаменатель" и англоязычное "ratio" не переводятся буквально: знаменатель – denominator, отношение – ratio. Если Вы внимательно читали текст выше, то поняли, что это связано с принятыми формулировками начальных определений через текущий и предыдущий члены прогрессии, или через текущий и последующий члены прогрессии, но никак не с самими свойствами этих последовательностей.
Реже, чем на прогрессии, встречаются аналогичные задачи на другие виды последовательностей. В этих случаях задача определена, если задан, или следует из текста условия, закон, определяющий связь члена последовательности с его номером. Исключением может оказаться гармоническая последовательность. В узком смысле, под термином гармоническая последовательность (harmonic sequence) понимается последовательность вида
1, 12–, 13–, 14–, ..., 1n–, ...
Для краткого обозначения того, что последовательность представляет собою арифметическую прогрессию, иногда ставят в начале знак ÷
Для обозначения того, что последовательность представляет собою геометрическую прогрессию, иногда ставят в начале знак —::
Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 240.
Найдите сумму второго, шестого и седьмого членов этой прогрессии.
(1) Сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 555.
(2) Девяносто девятый член арифметической прогрессии равен 336.
Ответить
Ваш ответ Правильный ответ (D) Ответ еще не выбран
Найти произведение первых пяти членов геометрической прогрессии.
(1) Первый член этой прогрессии равен 1/4.
(2) Третий член этой прогрессии равен 4.
Ответить
Ваш ответ Правильный ответ (B) Ответ еще не выбран
Какое из двух чисел a2 или b2 больше, если первое из них является членом арифметической прогрессии {an}, а второе – членом геометрической прогрессии {bn}?
(1) a1 = b1 и a2 ≠ b2;
(2) a3 = b3 и a2 ≠ b2.
Ответить
Ваш ответ Правильный ответ (E) Ответ еще не выбран
Даны две прогрессии с положительными членами – арифметическая {an} и геометрическая {bn}. Какое из двух чисел a2 или b2 больше?
(1) a1 = b1 и a2 ≠ b2;
(2) a3 = b3 и a2 ≠ b2.
Ответить
Ваш ответ Правильный ответ (C) Ответ еще не выбран
Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м. За сколько часов он достигнет высоты 5700 м?
(1) каждый следующий час он поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий;
(2) к исходу 3-его часа он достиг высоты 2325 м.
Ответить
Ваш ответ Правильный ответ (А) Ответ еще не выбран
Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м. За сколько часов он достигнет высоты 5700 м?
(1) каждые следующие 100 м своего пути он преодолевал на 0,1 минуты дольше, чем предыдущие;
(2) турист начал движение со скоростью 14 метров в минуту.
Ответить
Ваш ответ Правильный ответ (А) Ответ еще не выбран
Чтобы посмотреть мои решения представленных задач, вернитесь к оглавлению раздела и перейдите по ссылке на соответствующую страницу сайта.
What is the 6th term of the Arithmetic sequence?
(1) The sum of the 6th to the 12th term of the sequence is 77
(2) The sum of the 2nd to the 10th term of the sequence is 108
Enter
Your answer Right answer (B) Choose answer!
If sequence S has 100 terms, what is the 92nd term of S?
(1) The first term of S is −40.
(2) Each terms of S after the first term is 5 less than the preceding term.
Enter
Your answer Right answer (C) Choose answer!
If the price of a candy bar is doubled, by what percent will sales of the candy bar decrease?
(1) For every ten cent increase in price, the sales will decrease by 5 percent.
(2) Each candy bar now costs 60 cents.
Enter
Your answer Right answer (C) Choose answer!
Чтобы посмотреть мои решения представленных задач, вернитесь к оглавлению раздела и перейдите по ссылке на соответствующую страницу сайта.
С вопросами и пожеланиями
обращайтесь mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование оригинальных материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.