Задачи на прогрессии

В этом разделе Вы найдете немного теории и примеры задач на достаточность данных по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии". Не спешите переходить на страницы с ответами и решениями (3,5,6) до тех пор, пока не сделаете свою попытку. Помните - на своих ошибках учатся лучше, чем на чужих достижениях.

Англоязычные примеры я брала преимущественно из сети. Подробное русскоязычное объяснение Вы найдете на моей странице (5). Рекомендую также смотреть решения на сайте-первоисточнике, чтобы совершенствовать знание терминологии.

1. Определения и обозначения.
2. Примеры задач на достаточность данных. (Ru)
3. Ответы и решения для задач на достаточность данных. (Ru)
4. Examples of Data sufficiency tasks. (En)
5. Ответы и решения для приведенных Data sufficiency tasks. (Ru)
6. Первоисточники приведенных Data sufficiency tasks: [ссылка 1] и [ссылка 2] (En)

В математике существует понятие числовой последовательности (или просто последовательности - sequence). В общем случае, это бесконечный набор чисел, каждое из которых однозначно характеризуется своим номером "в очереди":

a₁, a₂, a₃, ... , a_n-1, a_n, a_n+1, ...

Говоря математическим языком, последовательность задана, если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число a_n. Последовательность коротко обозначают {a_n}, n Є N. Её члены могут быть заданы формулой a_n = f (n), каким-либо правилом или рекуррентным соотношением. Подробное изучение свойств последовательностей, как правило, включают в курсы высшей математики (математического анализа). К классической алгебре относят само понятие "последовательность" и наиболее простые из них – прогрессии (progression). Они характеризуются тем, что каждый следующий член такой последовательности может быть найден по значению предыдущего.

Обратите внимание, в общем случае, последовательность - это бесконечное счетное множество. Но в задачах часто рассматривают упорядоченные конечные участки таких множеств, называя их конечными последовательностями.

Арифметической прогрессией называется последовательность {a_n}, у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом d. Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Для арифметической прогрессии при любом n > 1 верны следующие соотношения:

a_n+1 − a_n = d;     a_n − a_n-1 = d;     a_n = a_k + d(n − k).

Соответственно, общий член арифметической прогрессии a_n по её первому члену находится по формуле

a_n = a₁ + d(n − 1),

и каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего:

a_n = (a_n-1 + a_n+1)/2.

Сумма S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых.

S_n = a₁ + a_n2 ——— ·n

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел {b_n}, у которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этой последовательности число q ≠ 0. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Для геометрической прогрессии со знаменателем q при n > 1 имеем:

b_n+1 / b_n = q;     b_n / b_n-1 = q;     b²_n = b_n-1·b_n+1.

Общий член геометрической прогрессии b_n может быть выражен через первый её член и знаменатель по формуле

b_n = b₁·qⁿ⁻¹,

Сумма S_n = b₁ + b₂ + b₃ + ... + b_n-1 + b_n первых n членов геометрической прогрессии {b_n} со знаменателем q ≠ 1 вычисляется по формуле

S_n = b₁·(1 − qⁿ) / (1 − q).

Свойства монотонности прогрессий, т.е. убывания или возрастания их членов по величине по мере продвижения от меньших номеров к большим, сейчас подробно перечислять не стану (monotonic sequence: increasing or decreasing). Они следуют непосредственно из определений. Но отмечу, что для бесконечно убывающей геометрической прогрессии существует сумма всех её членов

S = b₁ / (1 − q) при |q| < 1,

где S – сумма b_n при n, изменяющимся от единицы до бесконечности.

Все приведенные выше формулы Вам необходимы для лучшего понимания темы и решения задач в разделе Problem Solving Question. Здесь, где мы обсуждаем вопросы о достаточности данных, главный вывод состоит в том, что

Причем, зависимости для других членов прогрессии, для её суммы (или суммы конечного участка) таковы, что вместо первого члена можно взять любой другой или некоторую сумму, при условии, что известны номера входящих в неё членов.

Разумеется, не следует зацикливаться на обозначениях. В российских школьных учебниках арифметическую и геометрическую прогрессию часто обозначают разными символами {a_n} и {b_n}. Это облегчает восприятие понятий на первом этапе, но не более того. Для последовательностей вообще и прогрессий в частности часто используют {a_k}, {u_n}, {x_m}, {β_i} и другие символы латинского и греческого алфавита. При этом нижний индекс – натуральное число, изменяющееся от 1 до ∞. Однако и это не обязательно. Бывают случаи, когда члены последовательности начинают нумеровать с нуля.
Обратите внимание также на то, что русскоязычное название параметра геометрической прогрессии "знаменатель" и англоязычное "ratio" не переводятся буквально: знаменатель – denominator, отношение – ratio. Если Вы внимательно читали текст выше, то поняли, что это связано с принятыми формулировками начальных определений через текущий и предыдущий члены прогрессии, или через текущий и последующий члены прогрессии, но никак не с самими свойствами этих последовательностей.

Реже, чем на прогрессии, встречаются аналогичные задачи на другие виды последовательностей. В этих случаях задача определена, если задан, или следует из текста условия, закон, определяющий связь члена последовательности с его номером. Исключением может оказаться гармоническая последовательность. В узком смысле, под термином гармоническая последовательность (harmonic sequence) понимается последовательность вида

1,   12–,   13–,   14–,   ...,   1n–,   ...

Для краткого обозначения того, что последовательность представляет собою арифметическую прогрессию, иногда ставят в начале знак  ÷
Для обозначения того, что последовательность представляет собою геометрическую прогрессию, иногда ставят в начале знак  —::

Чтобы посмотреть мои решения представленных задач, вернитесь к оглавлению раздела и перейдите по ссылке на соответствующую страницу сайта.

Чтобы посмотреть мои решения представленных задач, вернитесь к оглавлению раздела и перейдите по ссылке на соответствующую страницу сайта.