Задачи на прогрессии

Для получения ответа на вопрос теста будем использовать краткую запись условия задачи в двух и, когда потребуется в трёх, вариантах.

Если данных для решения задачи достаточно, то постарайтесь решить её до конца и получить ответ. Затем сравните результат с моим ответом и с моим решением. Для этого нажмите кнопку "Подробнее". Способ решения, конечно, может быть не единственным, но ответ совпадать обязан. Это поможет Вам съэкономить время при подготовке к вопросам теста в части Problem Solving по этой же теме.

(1) вариант.

В краткой записи только одна связь для членов арифметической прогрессии. Но мы знаем, что прогрессия определяется двумя параметрами, для вычисления которых нужно два уравнения.

Вывод: данных НЕдостаточно.

(2) вариант.

В условии задачи явно сформулирована только одна связь для членов арифметической прогрессии. Вторую строку мы внесли благодаря наблюдательности - симметрия в постановке задачи. А благодаря знаниям о наличии симметрии в арифметической прогрессии, мы можем считать её информативной. (См., например, среднее арифметическое.) Теперь данных для решения задачи должно хватить. Чтобы убедиться в правильности такого вывода, нужно начать решение задачи.

Вывод: данных Достаточно.

(B) Statement (2) ALONE is sufficient, but statement (1) alone is not sufficient.

(1) вариант.

Дано значение первого члена последовательности и количество членов. Но ничего не сказано о законе, по которому каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число s_n. Последовательность, по-существу, не задана.

Вывод: данных НЕдостаточно.

(2) вариант.

Формулировка утверждения (2) фактически совпадает с определением арифметической прогрессии (только рассматривается её конечный участок из первых ста элементов). Последняя должна определяться 2-мя параметрами, но здесь задан только один - разность d.

Вывод: данных НЕдостаточно.

(+) вариант.

Имеем полностью определенную арифметическую прогрессию. Можем найти любой её член, в том числе и 92-й.
Более того, если бы нас намеренно не ограничили конечным участком прогрессии из 100 чисел, задача всё равно решалась бы по тем же зависимостям.

Вывод: данных Достаточно.

(С) BOTH statements TOGETHER are sufficient, but NEITHER statement ALONE is sufficient.

Эта задача несколько сложнее предыдущих, правда, не столько для анализа на достаточность данных, сколько для решения. Чтобы её формализовать введем обозначения: P – price, S – sales, P₀ – начальная цена, S₀ – начальный уровень продаж.

(1) вариант.

Заметим, что в утверждении (1) присутствует ключевое слово every (каждый), характеризующее последовательность шагов увеличения цены и соответствующего снижения уровня продаж. Сравнивая это утверждение с определениями прогрессий, приходим к выводу, что последовательность цен {P_i} – арифметическая прогрессия с шагом ΔP = 10 центов, а последовательность продаж {S_i} – геометрическая прогрессия с коэффициентом S_i+1/S_i = 0,95.

Последнее утверждение, возможно, для кого-то окажется сюрпризом. Почему нельзя считать, что это тоже арифметическая прогрессия с шагом 5%? Вспомним, процент не абсолютная единица, а относительная. Процент – сотая часть числа. Какого числа? Уровня продаж при предыдущем наблюдении. Но продажи изменяющаяся величина, значит их падение, выраженное в абсолютных единицах (в шоколадных батончиках), также изменяется от наблюдения к наблюдению. Зато легко заметить, что каждый новый уровень продаж составляет 95% от предыдущего, и этот показатель стабилен для всей последовательности наблюдений.
Подробнее о переходе от процентов к коэффициентам можно посмотреть на примере простых задач на проценты ЕГЭ по математике.

Теперь, легко видеть, что задача недоопределена. У обоих прогрессий не заданы ни первые члены, ни любые другие с известным номером. И, несмотря на то, что для ответа на вопрос нам не нужны абсолютные значения первого и последнего членов геометрической прогрессии, только их отношение, связей недостаточно даже для определения общего числа наблюдений – n.

Вывод: данных НЕдостаточно.

(2) вариант.

В этом варианте краткая запись иллюстрирует очевидную ситуацию - рассказывают про Фому, а спрашивают про Ерёму. Данных для ответа на вопрос просто нет. Замечу только, что в условии (2) тоже было слово each (каждый). Но здесь оно абсолютно неинформативно. Говорит только о том, что цена единицы товара, она и есть цена единицы товара.

Вывод: данных НЕдостаточно.

(+) вариант.

В объединенном варианте у нас появилась дополнительная строка, которой как раз не хватало в варианте (1). Теперь арифметическая прогрессия полностью определена. Благодаря этому, можно вычислить длину рассматриваемого участка обоих прогрессий – n. Геометрическая прогрессия по-прежнему недоопределена, абсолютные значения её членов вычислить нельзя, но и не нужно. Отношение любого (здесь n-ого) члена геометрической прогрессии к первому (здесь к нулевому) определяется его номером и знаменателем прогрессии.

Вывод: данных Достаточно.

(С) BOTH statements TOGETHER are sufficient, but NEITHER statement ALONE is sufficient.

1. Краткая запись - результат полного анализа условия задачи, которому учат в нашей школе.
2. Краткая запись заставляет сосредоточиться на ключевых моментах условия задачи. А иногда она позволяет дать ответ на вопрос теста по формальному признаку - количеству информативных строк. Воспользуйтесь этим, если задача относится к хорошо изученному Вами разделу математики, если Вы уверены в том, что включили в краткую запись всё, что можно было почерпнуть из условия задачи, или, если просто хотите съэкономить время.
3. Числовая последовательность полностью определена, если задан закон, связывающий значение члена последовательности с его номером a_n = f(n), или закон, позволяющий по известным членам последовательности и заданному номеру искомого члена, найти любой из оставшихся.
4. Прогрессии (и арифметическая, и геометрическая) определяются двумя параметрами. Если задан первый член (или любой другой с его номером) и, соответственно, разность или знаменатель прогрессии, можно вычислить всё, что угодно.
5. Если заданы суммы конечных участков прогрессий, для определения длины участка (n) или определяющих параметров потребуется составлять уравнения или системы уравнений. Будьте внимательны, относительно n в обоих случаях, и относительно q для геометрической прогрессии, эти уравнения будут нелинейны. Количество решений зависит от смысла величин и коэффициентов уравнения. Лучше начать решение задачи, чтобы выписать и проанализировать эти уравнения.
6. Не забывайте о свойствах среднего арифметического a_n = (a_n-1 + a_n+1)/2 и среднего геометрического b²_n = b_n-1·b_n+1. Отслеживайте симметрию в постановке задачи.
7. Учитывайте, что связи, выраженные отношениями или неравенствами в краткой записи, не полностью информативны. Их значимость зависит от того, как задан вопрос задачи, тоже неравенством или отношением, или требуется определить точное значение какой-либо величины.
8. Если в задаче не сказано прямо, что задана последовательность, то её наличие и вид определяется по повторяемости рассматриваемого процесса (что-то происходит в несколько шагов), по ключевым словам типа "каждый", по схожести формулировок в условии и в определениях прогрессий.
9. Для подтверждения отрицательного ответа (данных недостаточно) следует привести два примера, удовлетворяющих условию задачи, но с разными ответами. В зависимости от задачи, это может существенно съэкономить время. Вы сможете ограничиться только примерами, если конечный ответ на вопрос теста (Е) - оба утверждения недостаточны ни вместе, ни по одному. Но я не рекомендую делать это на этапе подготовки, ведь решать до конца такие задачи тоже придется.