Задачи на прогрессии
Решения к заданиям на достаточность данных.
Для получения ответа на вопрос теста будем использовать краткую запись условия задачи в двух и, когда потребуется, в трёх вариантах. Здесь краткая запись выделена светло-зеленым цветом.
Если данных для решения задачи достаточно, то постарайтесь решить её до конца и получить ответ. Затем сравните результат с моим ответом и с моим решением. Для этого нажмите кнопку "Подробнее". Способ решения, конечно, может быть не единственным, но ответ совпадать обязан. Это поможет Вам съэкономить время при подготовке к вопросам теста в части Problem Solving по этой же теме.
Задача 1.
Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 240.
Найдите сумму второго, шестого и седьмого членов этой прогрессии.
(1) Сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 555.
(2) Девяносто девятый член арифметической прогрессии равен 336.
(1) вариант.
S5 = 240;
S10 = 555;
a2 + a6 + a7 = ?
В краткой записи 2 связи для арифметической прогрессии, что позволит составить 2 линейных уравнения для определения 2-ух неизвестных: a1 и d. Таким образом, арифметическая прогрессия будет полностью определена, можно будет найти любой её член, а значит и требуемую сумму.
Вывод: данных Достаточно.
Подробнее...Решение.
Запишем и упростим выражения для заданных величин.S5 = a1 + a52 ——— ·5 = 240, следовательно
(a1 + a1 + 4d)·5/2 = 240; 5a1 + 10d = 240; a1 + 2d = 48
S10 = a1 + a102 ——— ·10 = 555, следовательно
(a1 + a1 + 9d)·10/2 = 555; 10a1 + 45d = 555; a1 + 4,5d = 55,5
Объединим их в систему:a1 + 4,5d = 55,5
Вычитая из второго уравнения первое, получим 4,5d − 2d = 55,5 − 48; 2,5d = 7,5; d = 3
Из первого уравнения a1 + 2·3 = 48, следовательно a1 = 48 − 6 = 42.
a2 + a6 + a7 = a1 + d + a1 + 5d + a1 + 6d = 42 + 1·3 + 42 + 5·3 + 42 + 6·3 = 160.
(2) вариант.
S5 = 240;
a99 = 336;
a2 + a6 + a7 = ?
В краткой записи снова 2 связи для арифметической прогрессии. Это позволит составить 2 линейных уравнения для определения 2-ух неизвестных: a1 и d. Арифметическая прогрессия полностью определена, можно будет найти любой её член, а значит и требуемую сумму.
Вывод: данных Достаточно.
Подробнее...Решение.
Запишем и упростим выражения для заданных величин.S5 = a1 + a52 ——— ·5 = 240, следовательно
(a1 + a1 + 4d)·5/2 = 240; 5a1 + 10d = 240; a1 + 2d = 48
a99 = 336, следовательно a1 + 98d = 336.
Объединим их в систему:a1 + 98d = 336
Вычитая из второго уравнения первое, получим 98d − 2d = 336 − 48; 96d = 288; d = 3
Из первого уравнения a1 + 2·3 = 48, следовательно a1 = 48 − 6 = 42.
a2 + a6 + a7 = a1 + d + a1 + 5d + a1 + 6d = 42 + 1·3 + 42 + 5·3 + 42 + 6·3 = 160.
(D) КАЖДОЕ утверждение В ОТДЕЛЬНОСТИ достаточно.
Задача 2.
Найти произведение первых пяти членов геометрической прогрессии.
(1) Первый член этой прогрессии равен 1/4.
(2) Третий член этой прогрессии равен 4.
(1) вариант.
а1 = 1/4;
a1·a2·a3·a4·a5 = ?
В краткой записи явно задан только один параметр, а геометрическая прогрессия определяется двумя. Следовательно, не хватает данных, а именно не задан знаменатель прогрессии.
Вывод: данных НЕдостаточно.
Подробнее...Отрицательный вывод легко проверяется примерами.
Пусть q = 1/2, тогда (1/4)·(1/8)·(1/16)·(1/32)·(1/64) = 1/1048576;
Пусть q = 2, тогда (1/4)·(1/2)·1·2·4 = 1.
(2) вариант.
а3 = 4;
a1·a2·a3·a4·a5 = ?
а3 - центральный сомножитель искомого произведения.
В краткой записи явно задан только один параметр, а геометрическая прогрессия определяется двумя. Но мы знаем, что прогрессии обладают определенной симметрией. Для геометрической – во сколько раз предыдущий член меньше (больше) текущего, во столько же раз последующий больше (меньше) текущего. Следовательно, должны зафиксировать в краткой записи наличие симметрии и в постановке задачи. Теперь мы имеем 2 связи, что говорит о том, что данных должно хватать. Для проверки такого вывода нужно сделать попытку полного решения задачи.
Вывод: данных Достаточно.
Подробнее...Решение.
Пусть знаменатель прогрессии q. Тогда:
a1·a2·a3·a4·a5 = (a3/q2)·(a3/q)·a3·(a3·q)·(a3·q2) = (a3)5 = 45 = 1024.
Сколько раз параметр q встретится в числителе итоговой дроби, столько же раз и в знаменателе, т.е. сократится.
(B) ОДНОГО ТОЛЬКО утверждения (2) достаточно, но одного только утверждения (1) не достаточно.
Задача 3.
Какое из двух чисел a2 или b2 больше, если первое из них является членом арифметической прогрессии {an}, а второе – членом геометрической прогрессии {bn}?
(1) a1 = b1 и a2 ≠ b2;
(2) a3 = b3 и a2 ≠ b2.
(1) вариант.
—:: {bn}
a1 = b1;
a2 ≠ b2;
sign(a2 − b2) = ?
В этой записи вопрос задачи сформулирован через функцию sign(x), которая означает, что нас интересует лишь знак выражения в скобках. Если a2 > b2, то значение функции sign будет +1, если, наоборот, соответственно, −1. Такой чисто математический подход здесь использован для того, чтобы краткая запись была действительно краткой. Но можно придумать и свои обозначения. Главное - коротко и по сути.
В этой задаче, у нас уже два объекта - арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия - каждый из которых определяется, в свою очередь, двумя величинами. Для полного задания обоих объектов требуются 4 параметра. Но у нас всего лишь две связи. Данных явно не хватает.
Вывод: данных НЕдостаточно.
(2) вариант.
—:: {bn}
a2 ≠ b2;
a3 = b3;
sign(a2 − b2) = ?
Краткая запись и результаты её анализа такие же, как в предыдущем случае.
Вывод: данных НЕдостаточно.
(+) вариант.
Включаем в задачу оба условия.
—:: {bn}
a1 = b1;
a2 ≠ b2;
a3 = b3;
sign(a2 − b2) = ?
Формально, у нас получается 3 связи, а для полного определения обоих объектов нужно 4. Но ведь от нас и не требуется полное (!) определение. Нам не нужно значение разности (a2 − b2), нужен только её знак. Поэтому потребуется приступить к решению задачи, чтобы выявить возможность положительного ответа, или придумать примеры, подтверждающие отрицательный ответ.
Пусть a1 = b1 = u, a3 = b3 = v, тогда
a2 = (u + v)/2 и b22 = u·v.
Теперь видно, что, если u и v имеют разные знаки, то их произведение будет отрицательным и, соответственно, не может быть равным квадрату какого-либо числа. Решения в этом случае не будет вообще.
Если u и v имеют одинаковые знаки, то условиям задачи не противоречат комбинации: оба значения отрицательны или оба положительны. Решение не будет однозначным.
Следовательно, для существования единственного ответа информации всё-таки недостаточно. Подтвердим это примерами.
÷ 2, 5, 8, ... d = 3
—:: 2, 4, 8, ... q = 2
5 > 4, поэтому a2 > b2
Пример 2.
÷ −8, −5, −2, ... d = 3
—:: −8, 4, −2, ... q = −0,5
−5 < 4, поэтому a2 < b2
Вывод: данных НЕдостаточно.
(E) Утверждений (1) и (2) ВМЕСТЕ не достаточно.
Задача 4.
Даны две прогрессии с положительными членами – арифметическая {an} и геометрическая {bn}. Какое из двух чисел a2 или b2 больше?
(1) a1 = b1 и a2 ≠ b2;
(2) a3 = b3 и a2 ≠ b2.
К условию предыдущей задачи, фактически, добавлено только одно слово - "положительными". Посмотрим, как оно отразится в краткой записи.
(1) вариант.
—:: {bn}
an > 0 для всех n;
bn > 0 для всех n;
a1 = b1;
a2 ≠ b2;
sign(a2 − b2) = ?
(2) вариант.
—:: {bn}
an > 0 для всех n;
bn > 0 для всех n;
a2 ≠ b2;
a3 = b3;
sign(a2 − b2) = ?
В краткой записи это отразилось появлением еще 2-ух строк. Теперь в вариантах (1) и (2) информационных строк стало по 4. Являются ли они необходимыми 4-мя связями? Прогрессии с положительными членами могут быть:
a) монотонно убывающими; б) монотонно возрастающими; в) стационарными, т.е. неизменяющимися (при d = 0 и q = 1). Если прогрессии совпадают только в одном месте - при n = 1, как в варианте (1), или при n = 3, как в варианте (2), то далее их члены могут как возрастать, так и убывать. Условие a2 ≠ b2 здесь может быть использовано только для того, чтобы исключить стационарные прогрессии, т.е. один из трёх возможных случаев. Оно недостаточно информативно.
Таким образом, в вариантах (1) и (2) мы имеем больше 3-ёх, но меньше 4-ёх связей. Для обоих случаев делаем
вывод: данных НЕдостаточно.
(+) вариант.
—:: {bn}
an > 0 для всех n;
bn > 0 для всех n;
a1 = b1;
a2 ≠ b2;
a3 = b3;
sign(a2 − b2) = ?
Имеем пять условий, этого в нашем случае должно быть достаточно, несмотря на то, что условия, выраженные неравенствами, не позволяют однозначно определить конкретные прогрессии. Но ведь у нас и вопрос выражен неравенством. Чтобы убедиться в правильности вывода о достаточности, вернитесь к рассуждениям в решении задачи 3 вариант (+) и проанализируйте знаки равенств теперь.
Вывод: данных Достаточно.
Подробнее...Решение.
Пусть a1 = b1 = u > 0, a3 = b3 = v > 0, тогда
a2 = (u + v)/2, b22 = u·v.
Составим разность a2 − b2 и преобразуем её.
a2 − b2 = (u + v)/2 − √u·v___ = (u + v − 2·√u_·√v_)/2 = (√u_ − √v_)2 /2.
Таким образом, знак разности всегда положительный, значит a2 больше, чем b2.
(C) ОБА утверждения ВМЕСТЕ достаточны, но по ОДНОМУ не достаточно НИКАКОЕ из них.
Задача 5.
Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м. За сколько часов он достигнет высоты 5700 м?
(1) каждый следующий час он поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий;
(2) к исходу 3-его часа он достиг высоты 2325 м.
В целом, это обычная текстовая задача на движение. Введем обозначение hi – высота в метрах, на которую поднимался турист за i-ый час. Утверждение (1) характеризует такое равнозамедленное движение, при котором пройденные участки удовлетворяют определению арифметической прогрессии. Составим краткую запись для этого случая.
(1) вариант.
h1 = 800;
d = −25;
Sn = 5700.
n = ?
Как видно, прогрессия полностью определена. Заданы оба параметра h1 и d в явном виде. И по смыслу задачи мы рассматриваем только конечный участок прогрессии с положительными членами. Следовательно, по значению частичной суммы её членов можем однозначно определить их количество.
Вывод: данных Достаточно.
Подробнее...Решение.
hn = h1 + (n − 1)·d = 800 − (n − 1)·25;
Sn = h1 + hn2 ——— ·n = 5700, следовательно Sn = 800 + 800 − (n − 1)·252 ————————— ·n = 5700.
Преобразуя последнее выражение для суммы, получаем квадратное уравнение, из которого определим n.n2 − 65n + 456 = 0.
Корнями этого уравнения являются числа 8 и 57. Но 57-й член этой прогрессии был бы отрицательным, следовательно наш ответ: за 8 часов.
(2) вариант.
S3 = 2325;
Sn = 5700.
n = ?
В этой краткой записи S обозначает пройденное расстояние, а индекс – соответствующее время в часах. Однако в задаче ничего не сказано о характере движения. Являлось ли оно равномерным, равнозамедленным или на каких-то участках ускоренным? Быть может, турист где-то сделал привал. Или запланировал его на высоте 5000 м?
Вывод: данных НЕдостаточно.
(A) ОДНОГО ТОЛЬКО утверждения (1) достаточно, но одного только утверждения (2) не достаточно.
Задача 6.
Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м. За сколько часов он достигнет высоты 5700 м?
(1) каждые следующие 100 м своего пути он преодолевал на 0,1 минуты дольше, чем предыдущие;
(2) турист начал движение со скоростью 14 метров в минуту.
Задача аналогична предыдущей. И ответ на задание о достаточности данных будет схожим. Но, если говорить о решении задачи как таковой, то утверждение (1) здесь не говорит о равнозамедленном движении. Движение замедлялось по другому нелинейному закону.
Введем обозначение ti – время в минутах, за которое турист преодолевал очередные (i-ые) 100 метров. Тогда формулировка утверждения (1) говорит о том, что эти временные интервалы представляют собой арифметическую прогрессию.
Составим краткую запись.
(1) вариант.
S8 = 60;
d = 0,1;
S57 = ?
Прогрессия полностью определена, потому что один параметр (d) задан, а второй может быть определен из выражения для суммы первых 8-ми членов. Следовательно, можно найти любую частичную сумму.
Вывод: данных Достаточно.
Подробнее...Решение.
S8 = t1 + t82 ——— ·8 =
t1 + t1 + 7·0,12 —————— ·8 = 60.
2t1 = 2·60/8 − 0,7; t1 = 7,15.
ТогдаS57 = t1 + t572 ——— ·57 = 7,15 + 7,15 + 56·0,12 ———————— ·57 = 19,9/2·57 = 567,15 (минуты), что составляет 9,4525 часа.
(2) вариант.
Sp = 800 м;
tp = 60 мин;
Sk = 5700 м.
tk = ?
В этой краткой записи S обозначает пройденное расстояние, а t с таким же индексом – соответствующее время в минутах. Однако в задаче опять ничего не сказано о характере движения. Из того, что задана начальная скорость, не следует, что далее она не могла меняться по произвольному закону.
Допустим, утверждение (2) было бы сформулировано так "турист двигался равнозамедленно, начав движение со скоростью 14 метров в минуту." Тогда мы могли бы описать движение следующими 4-мя параметрами – время, расстояние, скорость, ускорение. Причем, по любым 3-ём из них можно определить оставшийся четвертый: S = v0·t - a·t2/2. Данных было бы вполне достаточно, но это была бы совсем другая задача. Возможно, с другими числами. И ответ в ней не совпадет с вариантом (1) в любом случае.
Вывод: данных НЕдостаточно.
(A) ОДНОГО ТОЛЬКО утверждения (1) достаточно, но одного только утверждения (2) не достаточно.
С вопросами и пожеланиями
обращайтесь mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование оригинальных материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.