Спрашивали? Отвечаем!

GMAT math in Russian.

Главная Problem Solving Question Data Sufficiency Question Integrated Reasoning Section Вопрос-Ответ ЕГЭ


Комментарии к разделу:

В тех случаях, когда вопрос касается терминологии, приводимые на английском языке определения не являются переводом с русского. Используется прямое цитирование словарей и учебников (типа Oxford Dictionaries), некоторых источников сети Интернет (en.wikipedia, mba.com и т.п.)


Число "a multiple of ..." ?
Числа, к которым применяются арифметические операции, имеют свои названия. В частности, для операции умножения имеем

множитель × множитель = произведение;

factor × factor = product;

multiplier × multiplicand = product;

multiplier × multiplicand = multiple.

Последние два варианта названий используются на этапе определения операции умножения, т.е. тогда, когда она заменяет собой повторяющееся сложение (multiplicand - the number being multiplied, multiplier - the number doing the multiplying).

multiplier&multiplicand

Умножение чисел обладает тем свойством, что от перемены мест сомножителей произведение не меняется: multiplicand×multiplier = product; multiplicand×multiplier = multiple.

Вспомним, что все арифметичексие операции и, соответственно, все упомянутые термины изначально вводились на множестве натуральных чисел, затем были распространены на более широкие числовые множества. При этом использование двух различных названий для одинаковых, по сути, объектов (множителей) стало неудобным и неоправданным.
Более того, понятие "multiplier", как повторитель, не соотносится с дробями, тем более, с иррациональными числами. Поэтому присутствие в задаче слов "multiplier", "multiplicand", "multiple" сразу говорит нам о том, что хотя бы один из множителей является целым числом.

A multiple is the product of any quantity and an integer. In other words, for the quantities a and b, we say that b is a multiple of a if b = na for some integer n, which is called the multiplier or coefficient.

На русский язык "multiple" в математике переводят, обычно, как "кратное". Однако, как термин, "кратное" вводился вместе с операцией деления, а не умножения, и определен только для множества натуральных (целых положительных) чисел.

Пусть m, k, n, - натуральные числа. Если m - кратное числа k, то существует натуральное число n, такое что m = nk.

Таким образом, строгого совпадения терминов "a multiple of ..." и "кратное числа ..." нет.

The number 36 is the multiple of 4. — Число 36 является кратным числа 4. (36 : 4 = 9)

The number 36 is the multiple of 1.8. — Число 36 делится на 1,8 нацело (или без остатка). (36 : 1,8 = 20)

The number −36 is the multiple of 4. — −36 делится на 4 или |−36| является кратным числа 4. (|−36| = 36; 36 : 4 = 9) Здесь |a| - модуль или абсолютная величина числа, т.е. говоря о делимости целых чисел, мы обычно игнорируем их знак.

0 is the multiple of 4. — 0 делится на 4.

Замечания:
1) У слова множитель есть синоним сомножитель.
2) У слова "factor" может быть второе значение "коэффициент".
3) Слово "кратное" может быть использовано как синоним термина "делимое" в случае деления без остатка.
4) Некоторые словари и термин "factor" определяют на множестве whole number.

Что такое whole number?

Буквальный перевод, даваемый словарями, - "целое число". Но это не всегда строго соответствует русскоязычному математическому термину "целое число".
Словосочетание "whole number" переводится и понимается как целое или "полное" число в том смысле, что оно не содержит дробной части. В этом смысле оно является синонимом слова "integer" латинского происхождения. (An integer is a number that can be written without a fractional component. For example, 21, 4, 0, and 2048 are integers, while 9.75, 1/2, and √2_ are not.)
Однако, будьте внимательны, если речь идёт о принадлежности числа некоторому числовому множеству. Множества Integers и Whole numbers не совпадают.

Под множеством whole numbers, как правило *, понимается множество целых неотрицательных чисел, т.е. множество натуральных чисел, к которым добавлен 0.

*) Мы однозначно называем и определяем множества натуральных и целых чисел, а также все подмножества целых чисел. В англоязычной математике есть синонимы для именования числовых множеств на этом уровне, поэтому в некоторых источниках допускают вольности в их применении. Даже в определениях, даваемых математическими словарями Oxford Dictionaries можно встретить такие включения, как "Some autors ..." или "... though sometimes ..."

Подробнее о множествах.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, ..., использующиеся для счёта предметов или указания их порядкового номера называются натуральными числами. Множество натуральных чисел обозначается символом N.
Аналогично:
The natural numbers are those used for counting (as in "there are six coins on the table") and ordering (as in "this is the third largest city in the country"). The set of natural numbers is often denoted by N.

Натуральные числа также называют целыми положительными числами. Числа, противоположные натуральным: −1, −2, −3, −4, −5, ..., называют целыми отрицательными числами. Число 0 также считают целым числом. Множество целых чисел принято обозначать символом Z.
Аналогично:
The set of integers consists of zero (0), the natural numbers (1, 2, 3, ...) and their additive inverses (the negative integers, i.e. −1, −2, −3, ...). This is often denoted by Z.

Среди целых чисел можно выделить подмножества целых положительных (совпадает с множеством натуральных), целых отрицательных, целых неотрицательных (Z0) и целых неположительных. Последние два включают 0.
Аналогично - Positive Integers, Negative Integers, Non-Negative Integers, Non-Positive Integers.

Таким образом, общепринято
N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }
Z = {... , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Варианты смотрите в таблице.

Название и Состав Русский термин Подмножество целых чисел Sometimes or Some people
Counting Numbers
{ 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Натуральные или Целые положительные числа Positive Integers Как синоним для Natural Numbers
Whole Numbers
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Целые неотрицательные числа Non-Negative Integers 1) whole number - целое число (no fraction), в этом смысле может включать отрицательные числа;
2) whole number - представитель множества Whole Numbers, т.е. 0, 1, 2, 3 ...
3) whole number - синоним для natural number, в этом смысле может "потерять" 0.
Natural Numbers, N
{ 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Натуральные числа Positive Integers Некоторые авторы включают 0. Т.е. отождествляют это множество не с Counting Numbers (Positive Integers), как при строгом определении, а с множеством Whole Numbers (Non-Negative Integers)**).
Integers, Z
{... , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Целые числа Integers (complete set) Используя термин whole number (в смысле - no fraction) для всех целых чисел, в том числе и отрицательных, отождествляют множества Whole Numbers и Integers.

**)Таким образом, если Counting Numbers отождествить с натуральными числами, а Natural Numbers, в свою очередь, — с Whole Numbers, то получится, что 0 может использоваться для счёта и служить порядковым числительным. Иногда, действительно, случается, что в множество Counting Numbers формально включают 0, но для большинства реальных задач это лишено здравого смысла.
А если полностью пройти по допустимому кругу и отождествить далее Whole Numbers с Integers, то порядковыми окажутся и отрицательные числа, что совсем нехорошо.
Поэтому "вольности" авторов всё-таки ограничены тем, что в одной статье не используются одновременно все четыре термина.

Выводы: Будьте осторожны с нулём! Ориентируйтесь на контекст задачи. Старайтесь именовать множества по именам подмножеств целых чисел - это однозначно.

Перейти на главную страницу сайта.

С вопросами и пожеланиями обращайтесь   mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование оригинальных материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.